什么是拓扑排序？

在图论中，拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：

每个顶点出现且只出现一次

若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面

有向无环图（DAG）才有拓扑排序，非DAG图没有拓扑排序一说

拓扑排序有什么用？

它可以用来解决形如：

有n个任务需要完成，每个任务有一个耗时和一个前置任务列表，前置任务完成后才能开始当前任务。求完成所有任务的最短时间

这样具有依赖关系的问题

拓扑排序的实现

实现拓扑排序的关键就是维护一个入度为0的顶点的集合

Eg：P1113 杂务

题目描述

John的农场在给奶牛挤奶前有很多杂务要完成，每一项杂务都需要一定的时间来完成它。比如：他们要将奶牛集合起来，将他们赶进牛棚，为奶牛清洗乳房以及一些其它工作。尽早将所有杂务完成是必要的，因为这样才有更多时间挤出更多的牛奶。当然，有些杂务必须在另一些杂务完成的情况下才能进行。比如：只有将奶牛赶进牛棚才能开始为它清洗乳房，还有在未给奶牛清洗乳房之前不能挤奶。我们把这些工作称为完成本项工作的准备工作。至少有一项杂务不要求有准备工作，这个可以最早着手完成的工作，标记为杂务$1$。John有需要完成的$n$个杂务的清单，并且这份清单是有一定顺序的，杂务$k(k>1)$的准备工作只可能在杂务$1$至$k-1$中。

写一个程序从$1$到$n$读入每个杂务的工作说明。计算出所有杂务都被完成的最短时间。当然互相没有关系的杂务可以同时工作，并且，你可以假定John的农场有足够多的工人来同时完成任意多项任务。

输入格式

第1行：一个整数$n$，必须完成的杂务的数目($3 \le n \le 10,000$)；

第$2$至$(n+1)$行： 共有$n$行，每行有一些用$1$个空格隔开的整数，分别表示：

* 工作序号($1$至$n$,在输入文件中是有序的)；

* 完成工作所需要的时间$len(1 \le len \le 100)$；

* 一些必须完成的准备工作，总数不超过$100$个，由一个数字$0$结束。有些杂务没有需要准备的工作只描述一个单独的$0$，整个输入文件中不会出现多余的空格。

输出格式

一个整数，表示完成所有杂务所需的最短时间。

样例 #1

样例输入 #1

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1 5 0
2 2 1 0
3 3 2 0
4 6 1 0
5 1 2 4 0
6 8 2 4 0
7 4 3 5 6 0

样例输出 #1

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

#define MAXN 10001		
vector<int> followUpTask[MAXN];//邻接表存图，对于下标为i的节点，其存储的为i的后续任务
int inDrgee[MAXN];	//入度
int timeNeed[MAXN];	//任务所需时间
int timeOver[MAXN];	//第i号任务总耗时

int n;	//图的节点数

int _max(int a, int b) {
	return a > b ? a : b;
}

int tuopu() {
	queue<int> q;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (!inDrgee[i]) {	//统计入度为0的点，放入队列，准备拓扑排序
			q.push(i);
			timeOver[i] = timeNeed[i];	//对于入度为0的点，它的总耗时就是自己任务所需时间
		}
	}

	while (q.size()) {
		//pre 存取的是入度为0的点(任务可以独立进行，或任务前置任务已经完成的任务点)
		int pre = q.front(); q.pop();

		//对于pre的后续任务，我们进行一个遍历
		for (auto& crt : followUpTask[pre]) {
			//后续任务的耗时等于：max( 后续任务耗时 , pre任务+后续任务耗时 )
			timeOver[crt] = _max(timeOver[crt], timeOver[pre] + timeNeed[crt]);

			//如果该后续任务的所有前置均完成（入度为0），将该后续任务放入队列，作为拓扑排序的新节点
			if (!--inDrgee[crt])q.push(crt);
		}
	}

	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans = _max(ans, timeOver[i]);
	}


	return ans;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin >> n;

	int idx;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> idx >> timeNeed[i];

		int preTask;
		cin >> preTask;
		while (preTask) {
			//反向存储
			//对于前置任务preTask，存储其后续任务
			followUpTask[preTask].push_back(i);
			inDrgee[i]++;	//后续任务入度加一
			cin >> preTask;
		}
	}

	cout << tuopu();
	
	return 0;
}

自问自答：

Q：为什么是取max？

A：因为任务是不限制人数的可并行完成模式，在已经计算出每个任务所需耗时后，所有任务中的最大耗时即为完成所有任务的最短耗时

利用拓扑排序思维的不建图实现（硬性要求1号任务不需要前置任务）

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#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int itime[10001];
int finishTime[10001];
vector<int> prepare[10001];

int _max(int a, int b) {
	return a > b ? a : b;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int n;
	cin >> n;

	int idx;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> idx >> itime[i];

		int prepa;
		cin >> prepa;
		while (prepa) {
			prepare[i].push_back(prepa);
			cin >> prepa;
		}
	}


	int ans = 0;
	finishTime[1] = itime[1];
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		for (auto& t : prepare[i]) {
			finishTime[i] = _max(finishTime[i], finishTime[t] + itime[i]);
		}
		ans = _max(ans, finishTime[i]);
	}

	cout << ans;
	
	return 0;
}