从一个简单的问题说起

假设我要让电机从1000Hz加速到2000Hz，分3步完成。频率总变化量是1000Hz，除以3步，得到每步变化333Hz。

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脉冲1：1000 → 1333
脉冲2：1333 → 1666
脉冲3：1666 → 1999

最终频率停在了1999Hz，而不是目标2000Hz。差了1Hz。

这1Hz的误差，就是整数除法截断带来的。在嵌入式MCU上，我们不能用浮点数来计算频率——定时器要求频率是整数，浮点运算又慢，而且浮点截断误差会随着脉冲数累积。那怎么办？

答案是：用DDA算法，把这1Hz的"余数"均匀地分散到每一步中去。

remainderStep：那个让人困惑的变量

DDA算法的核心在于三个变量：

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integerStep   = freqDiff / steps;    // 每步固定的频率变化量
remainderStep = freqDiff % steps;    // 无法整除的余数
remainderAcc  = 0;                   // 余数累加器

integerStep很好理解，就是每步"必定"增加的频率。但remainderStep呢？它到底是什么？为什么要存在？

我花了很长时间才真正理解这个问题。最初我以为它只是一个简单的补丁——余数嘛，最后加一下就好了。但实际的实现远比这精妙：

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remainderAcc += remainderStep;
if (remainderAcc >= steps)
{
    currentFreq++;
    remainderAcc -= steps;
}

每一步都累加remainderStep，当累加器"满"了（超过steps），就额外补偿1Hz，然后累加器减去steps。

这看起来很反直觉——steps是步数，remainderStep是频率余数，它们的单位不同，怎么能直接比较和相减？

相位累加器的视角

后来我意识到，不能用"频率"的视角来看这段代码，而要用"相位"的视角。

DDA本质上是一个相位累加器。想象一个时钟的表盘，表盘上有steps个刻度。每走一步，指针前进remainderStep个刻度。当指针转满一整圈（超过steps个刻度），就触发一次1Hz的频率补偿。

用数学语言来说：

  • 每步的物理相位增量 = remainderStep / steps（一个无量纲的分数）
  • 累加器每步加的是这个分数的"分子" remainderStep
  • 满溢阈值是这个分数的"分母" steps
  • 每次溢出，意味着相位走满了"1圈"

这样理解之后，remainderAcc -= steps就不再是"减掉一个不同单位的量"，而是标准的取模操作——把累加器拉回到 [0, steps-1] 的有效范围内。

一个具体的例子

假设 freqDiff = 2000，steps = 3：

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integerStep   = 2000 / 3 = 666
remainderStep = 2000 % 3 = 2

执行过程：

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脉冲1：基础+666，Acc=0→2，不溢出，频率=1666
脉冲2：基础+666，Acc=2→4，溢出，Acc=1，补偿+1，频率=2333
脉冲3：基础+666，Acc=1→3，溢出，Acc=0，补偿+1，频率=3000

总补偿次数 = 2次，恰好等于remainderStep。而且补偿点在时间轴上均匀分布——第2、3个脉冲各补偿一次，而不是集中在最后一个脉冲。

这就是DDA的精妙之处：它用整数运算，实现了浮点级别的精确频率线性插值，而且保证误差不超过1Hz。

为什么每步加的是remainderStep而不是1？

这是另一个让我困惑了很久的问题。如果每步只加1：

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脉冲1：Acc=1，不溢出
脉冲2：Acc=2，不溢出
脉冲3：Acc=3，溢出，补偿1次

总补偿只有1次，但需要补偿2次。频率偏差1Hz。

原因在于：remainderStep表示的是"在steps步内需要额外补偿的次数"。如果每步只加1，走满一圈只能触发1次补偿；但我们需要触发remainderStep次补偿。所以每步必须加remainderStep，才能保证在steps步内恰好补偿remainderStep次。

用分糖果的比喻：有3个小朋友（steps=3），要分2颗糖（remainderStep=2）。每个小朋友来的时候计数器+2，当计数器≥3时，这个小朋友多拿1颗糖，然后计数器-3。

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小朋友1：Acc=2，不拿
小朋友2：Acc=4，拿糖，Acc=1
小朋友3：Acc=3，拿糖，Acc=0

第2、3个小朋友各拿1颗，均匀分配。完美。

0Hz起步的特殊处理

代码中有一个看似不起眼的细节：

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if ((startFreq == 0u) && (endFreq != 0u)
    && (integerStep == 0u) && (remainderStep != 0u))
{
    remainderAcc = steps - remainderStep;
}

当起始频率为0Hz时，如果integerStep为0（意味着频率变化量小于步数），第一个脉冲的频率仍然是0Hz——而0Hz意味着"没有脉冲"，电机不会动。这个初始化把累加器预设为一个"快要溢出"的值，让第一个脉冲立即推进到正频率，避免了死锁。

这种边界处理，不看代码很难想到，看了代码才能理解设计者的用心。

步数收敛：从时间到脉冲的映射

DDA解决了"如何均匀分配频率变化"的问题，但还有一个前置问题：给定加减速时间，应该用多少步来完成？

PlsrProfileGetTransitionSteps函数用了一个迭代收敛的方法：

  1. 用连续模型估算初始步数：expectedPulses = (startFreq + endFreq) * rampTimeMs / 2000
  2. 用DDA模拟计算这组步数下的实际耗时
  3. 按时间比例修正步数：adjustedSteps = steps * targetTime / actualTime
  4. 重复2-3步，直到步数收敛（最多迭代4次）

这个方法的巧妙之处在于：它不需要解析求解DDA的精确步数（那几乎不可能），而是用"模拟+反馈"的方式逐步逼近目标时间。4次迭代对于工程精度来说已经足够。

三角形曲线：当资源不够时

如果总脉冲数不足以完成完整的"加速-匀速-减速"梯形曲线，算法会自动降级为三角形曲线——没有匀速段，只有加速和减速。

PlsrProfileFindTriangleFreq用二分搜索找到三角形曲线的峰值频率：在可用脉冲数的约束下，找到一个最高的频率，使得加速段和减速段的总步数恰好等于可用步数。

这里有一个细节：二分搜索的上下界不是随便选的。如果是加速场景（峰值频率高于起止频率），下界取起止频率中的较大者，上界取目标频率；如果是减速场景，反过来。这保证了搜索空间的合理性。

最后的状态机

整个曲线发生器的状态机很简单：ACCEL → CRUISE → DECEL → COMPLETE。每个状态推进一步，更新当前频率，然后检查是否应该切换到下一个状态。

PlsrProfileAdvance函数是对外的接口，每次调用输出一个频率值。调用者只需要按这个频率设置定时器，就能产生平滑的加减速脉冲序列。

写在最后

这段代码不长，但每一个函数、每一个变量都有它存在的理由。DDA算法用最朴素的整数运算，实现了精确的频率插值；迭代收敛方法用"模拟+反馈"绕过了不可能的解析求解；三角形曲线检测用二分搜索在约束空间里找到了最优解。

最让我感慨的是，这些算法都不是什么新发明——DDA是上世纪60年代Bresenham画线算法的推广，迭代收敛是数值分析的基本套路，二分搜索更是教科书级的经典。但把它们组合在一起，解决一个具体的工程问题，就需要对每一个细节都有深入的理解。